4.º ESO · Sentido de la medida y espacial

Semejanza y cuerpos

Razón de semejanza en cuerpos, escalas y áreas/volúmenes de cuerpos compuestos.
Contenido de 4.º de la ESO, común a Matemáticas A y Matemáticas B. El alcance cambia según el itinerario.

Qué necesitas saber antes

No hace falta nada previo: puedes empezar por aquí.

Teoría

Teorema del cateto y de la altura

La altura sobre la hipotenusa

En un triángulo rectángulo, al trazar la altura desde el ángulo recto hasta la hipotenusa, esta queda dividida en dos segmentos: m (junto a un cateto) y n (junto al otro). Esa altura crea DOS triángulos pequeños, semejantes entre sí y semejantes al triángulo grande.
Hipotenusa c = m + n. La altura h cae exactamente sobre el punto que separa m de n.

Teorema de la altura

La altura sobre la hipotenusa es la MEDIA GEOMÉTRICA de los dos segmentos: h² = m × n. Es consecuencia directa de que los dos triángulos pequeños son semejantes entre sí.
m=9 cm, n=16 cm → h=√(9×16)=√144=12 cm.

Teorema del cateto

— Cada cateto es la media geométrica entre la hipotenusa y su segmento adyacente.
— b² = c × m (cateto junto a m)
— a² = c × n (cateto junto a n)
Sale de la misma semejanza: cada triángulo pequeño es semejante al triángulo grande completo.

Ejemplo resuelto: m=25, n=144

Razón de semejanza en cuerpos: áreas y volúmenes

Razón de semejanza, áreas y volúmenes

— Razón de longitudes: k
— Razón de áreas: k² (2 dimensiones)
— Razón de volúmenes: k³ (3 dimensiones)
Cuando dos cuerpos reales (maquetas, depósitos, esculturas) son semejantes con razón k, sus áreas NO se multiplican por k, sino por k², y sus volúmenes se multiplican por k³.

Ejemplo resuelto: depósito pequeño 15 m³, k = 2

Este tema tiene 3 apartados más. Los ves dentro de Saberi.

Dos ejemplos resueltos

Ejemplo 1
El tejado de una caseta de herramientas es un triángulo rectángulo. La altura que cae desde el ángulo recto hasta la hipotenusa la divide en dos segmentos de 9 m y 16 m. ¿Cuánto mide esa altura, en m?
Ejemplo 2
El teorema de la altura relaciona la altura sobre la hipotenusa con...
el producto de los dos segmentos de la hipotenusa
la suma de los dos catetos
la mitad de la hipotenusa
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