Factorización completa, fracciones algebraicas y teorema del resto.
Contenido de 4.º de la ESO, común a Matemáticas A y Matemáticas B. El alcance cambia según el itinerario.
Qué necesitas saber antes
No hace falta nada previo: puedes empezar por aquí.
Teoría
Teorema del resto y raíces de polinomios
El teorema del resto
El resto de dividir P(x) entre (x-a) es, sin hacer la división, el valor numérico P(a). Si el resto es 0, la división es exacta y a es una raíz de P(x).
Resto de (x²-5x+6)÷(x-2) es P(2)=4-10+6=0
División exacta = factor = raíz
Tres frases que dicen lo mismo: la división de P(x) entre (x-a) es exacta · (x-a) es un factor de P(x) · a es una raíz de P(x). En cuanto compruebas una, tienes las tres.
P(2)=0 → la división entre (x-2) es exacta → (x-2) es factor → 2 es raíz.
¿Dónde busco las raíces enteras?
Si un polinomio con coeficientes enteros tiene una raíz entera, esa raíz divide al término independiente. Los divisores (positivos y negativos) del término independiente son los ÚNICOS candidatos que hace falta probar.
En x³-7x+6, los candidatos son ±1, ±2, ±3 y ±6 (los divisores de 6).
Hallar un parámetro desconocido
Si te dicen que x=a es raíz de un polinomio con un parámetro k, plantea P(a)=0 y despeja k. Si te dan el resto de una división, plantea P(a)=resto.
Si x=2 es raíz de x³+kx-4: P(2)=8+2k-4=0 → k=-2.
Ejemplo resuelto: raíces de x³-7x+6
Este tema tiene 4 apartados más. Los ves dentro de Saberi.
Dos ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Mientras repasa para la recuperación de septiembre, Aroa se atasca en esta cuestión: determina k para que x=2 sea raíz de P(x) = x³ + kx - 4.
Ejemplo 2
En el calentamiento de la clase de hoy, Selena resuelve: factoriza sacando factor común x² - 7x.
x(x-7)
x(x+7)
7x(x-1)
x²(x-7)
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