Ecuaciones e inecuaciones

Bicuadradas, racionales, con radicales e inecuaciones de 1.er y 2.º grado.

Contenido de 4.º de la ESO, común a Matemáticas A y Matemáticas B. El alcance cambia según el itinerario.

Qué necesitas saber antes

Polinomios y fracciones algebraicas

Teoría

Ecuaciones bicuadradas

¿Qué es una ecuación bicuadrada?

Una ecuación bicuadrada tiene la forma ax⁴+bx²+c=0: solo aparecen potencias de x de grado 4, 2 y 0. Se resuelve con el cambio t=x², que la convierte en una ecuación de 2º grado normal en t.

x⁴-5x²+4=0 se convierte en t²-5t+4=0 con t=x².

Deshacer el cambio: cuidado con t negativa

Como t=x², t NUNCA puede ser negativo. Si al resolver la ecuación en t sale una solución negativa, se DESCARTA (no da ninguna solución real de x). Cada valor de t positivo da DOS valores de x: x=+√t y x=-√t.

Si t=4, entonces x=+2 o x=-2 (dos soluciones).

¿Cuántas soluciones puede tener?

— Dos t positivas → 4 soluciones de x

— Una t positiva y una negativa → 2 soluciones

— t=0 también cuenta: da x=0 (una sola)

— Dos t negativas → ninguna solución real

Cuenta las soluciones mirando el signo de cada t: solo las t≥0 se convierten en soluciones de x.

Las soluciones, en la recta

Cada t positiva da x=+√t y x=-√t: dos puntos SIMÉTRICOS respecto al 0 en la recta numérica. Por eso las soluciones de una bicuadrada siempre van en parejas espejo.

t=9 → x=3 y x=-3, a la misma distancia del 0.