3.º ESO · Sentido de la medida y espacial

Geometría del espacio

Poliedros regulares, fórmula de Euler, secciones y coordenadas geográficas.

Qué necesitas saber antes

No hace falta nada previo: puedes empezar por aquí.

Teoría

Poliedros regulares y la fórmula de Euler

Los 5 poliedros regulares

— Tetraedro: 4 caras triangulares.
— Cubo (hexaedro): 6 caras cuadradas.
— Octaedro: 8 caras triangulares.
— Dodecaedro: 12 caras pentagonales.
— Icosaedro: 20 caras triangulares.
Un poliedro regular tiene todas sus caras iguales (polígonos regulares) y el mismo número de caras en cada vértice.

La fórmula de Euler

En todo poliedro convexo se cumple: Vértices - Aristas + Caras = 2. Sirve para calcular un dato que no conocemos si sabemos los otros dos.
Cubo: V=8, A=12, C=6 → 8 - 12 + 6 = 2 ✓.

Caras, vértices y aristas de cada poliedro regular

— Tetraedro: 4 caras, 4 vértices, 6 aristas.
— Cubo: 6 caras, 8 vértices, 12 aristas.
— Octaedro: 8 caras, 6 vértices, 12 aristas.
— Dodecaedro: 12 caras, 20 vértices, 30 aristas.
— Icosaedro: 20 caras, 12 vértices, 30 aristas.
El número de caras y el de vértices NUNCA coinciden entre dos poliedros regulares distintos — cada uno tiene su propio dato único. Las aristas sí se repiten: cubo y octaedro comparten 12; dodecaedro e icosaedro comparten 30.

El desarrollo de cada poliedro regular

— Tetraedro: 4 triángulos equiláteros.
— Cubo: 6 cuadrados.
— Octaedro: 8 triángulos equiláteros.
— Dodecaedro: 12 pentágonos regulares.
— Icosaedro: 20 triángulos equiláteros.
El desarrollo plano de un poliedro es lo que verías si lo desmontas por sus aristas y lo dejas totalmente plano: siempre son tantos polígonos como caras tiene el poliedro.

Ejemplo resuelto: 6 vértices y 8 caras

Este tema tiene 4 apartados más. Los ves dentro de Saberi.

Dos ejemplos resueltos

Ejemplo 1
Un octaedro tiene 6 vértices y 8 caras: aplica la relación de Euler y calcula sus aristas.
Ejemplo 2
¿Cuántas caras tiene un tetraedro regular?
4
6
8
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